Астапова родилась в 1925 году в Воронежской области. После окончания лечебного факультета Курского медицинского института в 1949 году начала работать акушером-гинекологом в Тепло-Огаревском районе Тульской области.
С 1961 по 1982 гг. Астапова возглавляла Тульский Центральный родильный дом.
С 1982 по 2000 гг. продолжала работать там же акушером-гинекологом.
В 1967 году ей присвоена высшая квалификационная категория, а в 1970 году – почетное звание «Заслуженный врач РСФСР».
В 1981 году – награждена орденом «Октябрьской революции».
За многолетний и добросовестный труд, высокий профессионализм и компетентность, ответственность и преданность делу сохранения здоровья граждан города Тулы Августа Петровна Астапова удостоена звания «Почетный гражданин Тулы» в 2005 году.